2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題及正確答案！
下邊以文字的形式為大家?guī)?lái)全部題目及其答案！
一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.
(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C）
【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào)。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選（C）.
(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（A）
【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問(wèn)題——已知解來(lái)確定微分方程的系數(shù)，此類(lèi)題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來(lái)求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，，從而原方程變?yōu)椋賹⑻亟獯氲?故選（A）
(3) 若級(jí)數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級(jí)數(shù)的 ( )
(A) 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)
(B) 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)
(C) 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)
(D) 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)
【答案】（B）
【分析】此題考查冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì).
【解析】因?yàn)闂l件收斂，即為冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).故選（B）.
(4) 設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（B）
【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分
【解析】先畫(huà)出D的圖形，
所以，故選（B）
(5) 設(shè)矩陣，，若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】，
由，故或，同時(shí)或。故選（D）
(6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其中 ，若 ，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由，故.且
.
所以。選（A）
(7) 若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(C)
【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .
(8)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】
，選(D) .
二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.
(9)
【答案】
【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法則，也可以用等價(jià)無(wú)窮小替換.
【解析】方法一：
方法二：
(10)
【答案】
【分析】此題考查定積分的計(jì)算，需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡(jiǎn).
【解析】
(11)若函數(shù)由方程確定，則
【答案】
【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).
【解析】令，則
又當(dāng)時(shí)，即.
所以，因而
(12)設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域，則
【答案】
【分析】此題考查三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以利用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)后再計(jì)算.
【解析】由輪換對(duì)稱性，得
，
其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以
(13) 階行列式
【答案】
【解析】按第一行展開(kāi)得
(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
【答案】
【解析】由題設(shè)知，，而且相互獨(dú)立，從而
.
三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
(15)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)，，若與在是等價(jià)無(wú)窮小，求的值.
【答案】
【解析】法一：原式
即
法二：
因?yàn)榉肿拥臉O限為0，則
，分子的極限為0，
，
(16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，由線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式.
【答案】.
【解析】設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：
令，得到，
故由題意，，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，
即，可分離變量得到通解為：，
已知，得到，因此；
即.
(17)(本題滿分10分)
已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).
【答案】3
【解析】因?yàn)檠刂荻鹊姆较虻姆较驅(qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.
，
故，模為，
此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問(wèn)題.
為了計(jì)算簡(jiǎn)單，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)
在約束條件下的最大值.
構(gòu)造函數(shù)：
，得到.
所以最大值為.
(18)(本題滿分 10 分)
（I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明
（II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，，寫(xiě)出的求導(dǎo)公式.
【解析】（I）
（II）由題意得
(19)(本題滿分 10 分)
已知曲線L的方程為起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分.
【答案】
【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程，
(20) (本題滿11分)
設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，，，.
（I）證明向量組為的一個(gè)基;
（II）當(dāng)k為何值時(shí)，存在非0向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.
【答案】
【解析】(I)證明：
故為的一個(gè)基.
（II）由題意知，
即
即
即，得k=0
(21) (本題滿分11 分)
設(shè)矩陣相似于矩陣.
(I) 求的值；
（II）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣..
【解析】(I)
(II)
的特征值
時(shí)的基礎(chǔ)解系為
時(shí)的基礎(chǔ)解系為
A的特征值
令，
(22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為
對(duì) 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè),直到2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)的停止.記為觀測(cè)次數(shù).
(I)求的概率分布;
(II)求
【解析】(I) 記為觀測(cè)值大于3的概率，則，
從而，
為的概率分布；
(II)
記，則，
，
，
所以，
從而.
(23) (本題滿分 11 分)設(shè)總體X的概率密度為：
其中為未知參數(shù)，為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.
(I)求的矩估計(jì)量.
(II)求的最大似然估計(jì)量.
【解析】(I) ，
令，即，解得為的矩估計(jì)量；
(II) 似然函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則.
從而，關(guān)于單調(diào)增加，
所以為的最大似然估計(jì)量.
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