本合集包含了不等式，圓，雙曲線等為主的課文高二數(shù)學教案，掌握圓的一般式方程及其各系數(shù)的幾何特征。

本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能，訓練學生的推理能力．為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎．

合集中的教案具體包括

1 不等式的性質(zhì)

2 圓的方程

3 雙曲線的幾何性質(zhì)

教案舉例

§8．4雙曲線的幾何性質(zhì)（第1課時）

㈠課時目標

1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。

2．能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

3．能運用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。

㈡教學過程

[情景設置]

敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫下表：

方程

性質(zhì)

圖像（略）

范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

對稱性對稱軸、對稱中心

頂點（±a,0）、（±b,0）

離心率e=(幾何意義)

[探索研究]

1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率。

雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對比如下：

方程

性質(zhì)

圖像（略）（略）

范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

對稱性、對稱軸、對稱中心 對稱軸、對稱中心

頂點 （±a,0）、（±b,0） （-a,0）、（a,0）

離心率 0＜e=＜1

e=＞1

下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：

（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=＞1）

2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證

根據(jù)橢圓的上述四個性質(zhì)，能較為準確地把 畫出來嗎？（能）

根據(jù)上述雙曲線的四個性質(zhì)，能較為準確地把 畫出來嗎？（不能）

通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什么？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

問：雙曲線 有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？

引導猜想：在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程可解出：

y=± =±

當x無限增大時， 就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±

與直線y=± 無限接近。

這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。

直線y=± 恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行于坐標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

證法1：如圖，設M（x0,y0）為第一象限內(nèi)雙曲線 上的仍一點，則

y0=  ，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：

∣MQ∣=  =

點M向遠處運動， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近于 y=

故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。

3．離心率的幾何意義

∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===

e越�。ń咏�于1） 越接近于0，雙曲線開口越小（扁狹）

e越大 越大，雙曲線開口越大（開闊）

4．鞏固練習

求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。

①4x2-y2=4       ②4x2-y2=-4

已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程

①M（4， ）   ②M（4， ）

[知識應用與解題研究]

例 1   求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

例2    雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當?shù)淖鴺讼�，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

㈣提煉總結(jié)

1. 雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。

2. 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊含了重要的數(shù)學思想與數(shù)學方法。

3. 雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點和不同點。

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